1. Дана пирамида АВСD Известно, что ADB = DBC; ABD = BDC; BAD = ABC. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см²:
а) 40 см +
б) 50 см
в) 30 см
2. Сколько диагоналей у прямоугольного параллелепипеда:
а) 2
б) 4 +
в) 3
3. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она наклонена к его грани под углом 60градусов, а стороны этой грани равны 3 и 4:
а) 15
б) 25
в) 10 +
4. Прямоугольный параллелепипед является:
а) трехмерной фигурой +
б) двумерной фигурой
в) ромбом
5. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD , сторона которого равна 4 корень из 3 а угол BAD равен 60 градусов . Найдите расстояние от точки A до прямой C1D1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8:
а) 20
б) 15
в) 10 +
6. Сколько граней у прямоугольного параллелепипеда:
а) 8
б) 6 +
в) 4
7. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите боковое ребро пирамиды:
а) 4
б) 16
в) 8 +
8. Сколько боковых граней у прямоугольного параллелепипеда:
а) 4 +
б) 2
в) 3
9. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P сторона основания равна 3 высота 2. Найдите расстояние от A вершины до грани PCD:
а) 3.7
б) 1.2
в) 2.4 +
10. Сколько существует видов правильных многогранников:
а) 4
б) 5 +
в) 8
11. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС:
а) 25/3 +
б) 33/5
в) 1/4
12. Какой из многогранников не имеет центра симметрии:
а) Икосаэдр
б) Тетраэдр +
в) Октаэдр
13. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они:
а) параллельны +
б) пересекаются
в) скрещиваются
14. Из каких равносторонних фигур составлен тетраэдр:
а) шестиугольников
б) четырехугольников
в) треугольников +
15. Прямая и плоскость называются параллельными, если они:
а) не имеют общих точек +
б) имеют две общие точки
в) лежат в одной плоскости
16. Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB:
а) 4√2
б) 5√2 +
в) 3√2
17. Прямая m пересекает плоскость α в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через прямую mи параллельная плоскости α:
а) да
б) зависит от задачи
в) нет +
18. Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники равносторонние:
а) 3√5
б) 5√6 +
в) 4√2
19. Через А, не принадлежащее α, проходит единственная плоскость, точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P-середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см²:
а) 32
б) 22
в) 12 +
20. Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостью α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см:
а) √3
б) 6√3 +
в) 3√3
21. Даны две параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ=7 см:
а) 7 см +
б) 12 см
в) 14 см
22. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонён к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника:
а) 50°
б) 45° +
в) 30°
23. Даны две параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ=5 см:
а) 15 см
б) 10 см
в) 5 см +
24. Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 2, 3 и 6. Найдите его диагональ:
а) 5
б) 7 +
в) 9
25. Точки A, M, O лежат на одной прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки O, B, C, D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: AOB, MOC, DAM, DOA, BMO:
а) AOB, MOC, DAM
б) DAM, DOA, BMO
в) AOB, AOC, DOA +
26. Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны 185, 185 и 37; а ребра другого равны 185,37 и 37. Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда:
а) в 23 раза
б) в 5 раз +
в) в 3 раза
27. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ADC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельна прямой CD. Известно, что АВ=16√3 см, ОК=12 см, CD=16 см. Найдите расстояние от точек D и K до вершин А и В треугольника:
а) DA=DB=32 см, AK=KB=20 см +
б) DA=DB=18 см, AK=KB=37 см
в) DA=DB=12 см, AK=KB=30 см
28. Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны 4 и 5, а боковое ребро равно 3. Найдите наибольшую площадь его грани:
а) 10
б) 15
в) 20 +
29. Дан тетраэдр МАВС, угольный, где D ∈ AC, MB ⊥ АВ. Найдите MD и SMBD, если MB = BD = а. Найдите: площадь треугольника MD:
а) 2√2 +
б) 3√3
в) √3
30. В треугольнике ABC дано: угол С=90°, АС=6 см, ВС=8 см, СМ-медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ:
а) 10 см
б) 13 см +
в) 17 см